Probas…

J’ai tenté de réfléchir à ma petite énigme (l’énoncé est ici).

Compte-tenu des hypothèses, je pense que l’on peut poser la conclusion suivante :

– la probabilité que deux personnes différentes soient nées le même jour est égale à 1 / 365.

Par ailleurs, le dénombrement de tous les couples de 2 personnes parmi N nous donne : N(N-1) / 2, ce qui est aisé à démontrer (c’est le nombre d’éléments d’une demi matrice carrée de taille N, diagonale exclue car le couple d’une personne avec elle-même est à écarter).

On aurait tendance à sauter très rapidement à la conclusion que la probabilité de trouver deux personnes nées le même jour parmi une population de N est ( N(N-1) / 2 ) * ( 1 / 365 ), soit N(N-1) / 730.

Malheureusement ça ne tient pas. Regardez la représentation graphique de cette fonction : elle diverge à l’infini ! ce qui est par ailleurs facile à démontrer analytiquement.

En français : à partir de N = 28, N(N-1) / 730 devient supérieur à 100%, ce qui est impossible pour une probabilité. Cela signifierait que dans une assemblée de 30 personnes, on est sûr à 100% que deux personnes sont nées le même jour. Or, même avec N = 365, on ne peut avoir cette certitude. Ce n’est que pour N >= 366 que la probabilité devient 100%. Il y a donc forcément quelque part un logarithme, une exponentielle ou une joyeuseté de ce genre afin que la fonction ait un comportement asymptotique tendant vers 1…

Des idées ?..