Archives de
Author: manur

Commentaires 0 Commentaire

Enigme (suite et fin)

Merci à Laurent, fidèle lecteur, pour m’avoir fourni la solution ; elle provient d’un de ses anciens bouquins de prépa qu’il a eu la gentillesse d’aller explorer.

La probabilité d’avoir deux tirages identiques lors du tirage avec remise d’un nombre entre 1 et 365 est :

P(N) = 1 - ( (365! / (365-N)!) / 365^N )

avec N étant le nombre de tirages successifs.

Tentons d’expliquer cela « intuitivement » (c-à-d sans prétendre à une réelle rigueur scientifique). L’astuce est de considérer la probabilité que, au bout de N tirages, il n’y en ai pas encore eu deux identiques. Admettons maintenant que le premier tirage ait eu lieu. Lorsque l’on tire le second nombre, parmi 365 possibles, il y a 364 chances qu’il ne soit pas identique au premier, soit une probabilité de 364 / 365. Au tirage du troisième, il y a 363 chances sur 365 qu’il soit différent des deux premiers (qui sont eux-même forcément différents l’un de l’autre, sinon on a arrété le tirage).

Donc, pour le Nième tirage, la probabilité qu’il ne soit pas identique à l’un des N-1 précédents est de (365-N+1) / 365. Multiplions cette probabilité par toutes celles qui l’on précédées (car si on est arrivé au Nième tirage, c’est que les N-1 précédents sont déjà tous différents) :

P'(N) = (364 / 365) x (363 / 365) x … x ((365-N+1) / 365)

P'(N) = (364 x 363 x … x (365-N+1)) / (365 x 365 x … x 365) [N-1 termes en haut et en bas]

et le numérateur peut s’exprimer sous la forme 364! / (365-N)!, donc :

P'(N) = (364! / (365-N)!) / 365^(N-1) que l’on peut multiplier par 365 en haut et en bas :

P'(N) = (365! / (365-N)!) / 365^N

Or, nous avons déterminé ici la probabilité que, au bout de N tirages, il n’y ait pas de tirages identiques ; la probabilité qu’il y en ait deux identiques est donc P(N) = 1 – P'(N), soit la formule ci-dessus.

Isolément, le dénominateur peut se démontrer aisément : 365^N est le nombre de possibilités différentes de tirer N nombres parmi 365 avec remises (c-à-d le nombre de vecteurs différents possibles de N éléments choisis chacun entre 1 et 365). Toute probabilité ne peut être qu’une fraction de ce nombre…

Ce qui nous amène à la représentation graphique (800×600) et aux conclusions que l’on peut en tirer : parmi une simple congrégation de 23 personnes, on a déjà 50% de chances d’avoir deux dates d’anniversaire identiques ; pour une classe de 35 élèves, cette probabilité dépasse 80% et dans un rassemblement de 60 personnes ou plus, les chances frisent les 100%… CQFD

Commentaires 0 Commentaire

Probas…

J’ai tenté de réfléchir à ma petite énigme (l’énoncé est ici).

Compte-tenu des hypothèses, je pense que l’on peut poser la conclusion suivante :

– la probabilité que deux personnes différentes soient nées le même jour est égale à 1 / 365.

Par ailleurs, le dénombrement de tous les couples de 2 personnes parmi N nous donne : N(N-1) / 2, ce qui est aisé à démontrer (c’est le nombre d’éléments d’une demi matrice carrée de taille N, diagonale exclue car le couple d’une personne avec elle-même est à écarter).

On aurait tendance à sauter très rapidement à la conclusion que la probabilité de trouver deux personnes nées le même jour parmi une population de N est ( N(N-1) / 2 ) * ( 1 / 365 ), soit N(N-1) / 730.

Malheureusement ça ne tient pas. Regardez la représentation graphique de cette fonction : elle diverge à l’infini ! ce qui est par ailleurs facile à démontrer analytiquement.

En français : à partir de N = 28, N(N-1) / 730 devient supérieur à 100%, ce qui est impossible pour une probabilité. Cela signifierait que dans une assemblée de 30 personnes, on est sûr à 100% que deux personnes sont nées le même jour. Or, même avec N = 365, on ne peut avoir cette certitude. Ce n’est que pour N >= 366 que la probabilité devient 100%. Il y a donc forcément quelque part un logarithme, une exponentielle ou une joyeuseté de ce genre afin que la fonction ait un comportement asymptotique tendant vers 1…

Des idées ?..

Commentaires 0 Commentaire

The famous list

What’s the similitude between « All Rage Against The Machine songs » and « Alanis Morissette’s ‘Ironic’  » ? They are banned on most mainstream radio broadcast in the US.

Of course this can be a hoax. But it doesn’t seem it is (see the comments).

Commentaires 0 Commentaire

Référencement des weblogs

Pour rebondir sur un post de Christophe, c’est vrai que la publication dynamique a un effet incroyable sur les moteurs de recherche (sur Google surtout, en réalité). Moi-même, pour deux trois remarques superficielles sur, par exemple, Plateforme de Houellebecq, je me retrouve sur la première page de résultats de Google, et donc de Yahoo.

On peut le voir comme la « récompense » d’une persévérance à blogger pas vraiment désagréable, mais personnellement je ne peux m’empêcher de ressentir un peu de crainte. Au début, j’écrivais un peu n’importe quoi dans mon coin et personne (ou à peu près) ne le lisait.

Aujourd’hui je fais des cauchemars où un journaliste peu consciencieux de France Soir ou autre tombe ici grâce à un moteur de recherche et finit par citer mes mots comme s’ils étaient une position construite, et représentative de ce que pensent les « Français » … 🙂