Enigme (suite et fin)
Merci à Laurent, fidèle lecteur, pour m'avoir fourni la solution ; elle provient d'un de ses anciens bouquins de prépa qu'il a eu la gentillesse d'aller explorer.
La probabilité d'avoir deux tirages identiques lors du tirage avec remise d'un nombre entre 1 et 365 est :
avec N étant le nombre de tirages successifs.
Tentons d'expliquer cela "intuitivement" (c-à-d sans prétendre à une réelle rigueur scientifique). L'astuce est de considérer la probabilité que, au bout de N tirages, il n'y en ai pas encore eu deux identiques. Admettons maintenant que le premier tirage ait eu lieu. Lorsque l'on tire le second nombre, parmi 365 possibles, il y a 364 chances qu'il ne soit pas identique au premier, soit une probabilité de 364 / 365. Au tirage du troisième, il y a 363 chances sur 365 qu'il soit différent des deux premiers (qui sont eux-même forcément différents l'un de l'autre, sinon on a arrété le tirage).
Donc, pour le Nième tirage, la probabilité qu'il ne soit pas identique à l'un des N-1 précédents est de (365-N+1) / 365. Multiplions cette probabilité par toutes celles qui l'on précédées (car si on est arrivé au Nième tirage, c'est que les N-1 précédents sont déjà tous différents) :
P'(N) = (364 / 365) x (363 / 365) x ... x ((365-N+1) / 365)
P'(N) = (364 x 363 x ... x (365-N+1)) / (365 x 365 x ... x 365) [N-1 termes en haut et en bas]
et le numérateur peut s'exprimer sous la forme 364! / (365-N)!, donc :
P'(N) = (364! / (365-N)!) / 365^(N-1) que l'on peut multiplier par 365 en haut et en bas :
P'(N) = (365! / (365-N)!) / 365^N
Or, nous avons déterminé ici la probabilité que, au bout de N tirages, il n'y ait pas de tirages identiques ; la probabilité qu'il y en ait deux identiques est donc P(N) = 1 - P'(N), soit la formule ci-dessus.
Isolément, le dénominateur peut se démontrer aisément : 365^N est le nombre de possibilités différentes de tirer N nombres parmi 365 avec remises (c-à-d le nombre de vecteurs différents possibles de N éléments choisis chacun entre 1 et 365). Toute probabilité ne peut être qu'une fraction de ce nombre...
Ce qui nous amène à la représentation graphique (800x600) et aux conclusions que l'on peut en tirer : parmi une simple congrégation de 23 personnes, on a déjà 50% de chances d'avoir deux dates d'anniversaire identiques ; pour une classe de 35 élèves, cette probabilité dépasse 80% et dans un rassemblement de 60 personnes ou plus, les chances frisent les 100%... CQFD
Merci à Laurent, fidèle lecteur, pour m'avoir fourni la solution ; elle provient d'un de ses anciens bouquins de prépa qu'il a eu la gentillesse d'aller explorer.
La probabilité d'avoir deux tirages identiques lors du tirage avec remise d'un nombre entre 1 et 365 est :
avec N étant le nombre de tirages successifs.
Tentons d'expliquer cela "intuitivement" (c-à-d sans prétendre à une réelle rigueur scientifique). L'astuce est de considérer la probabilité que, au bout de N tirages, il n'y en ai pas encore eu deux identiques. Admettons maintenant que le premier tirage ait eu lieu. Lorsque l'on tire le second nombre, parmi 365 possibles, il y a 364 chances qu'il ne soit pas identique au premier, soit une probabilité de 364 / 365. Au tirage du troisième, il y a 363 chances sur 365 qu'il soit différent des deux premiers (qui sont eux-même forcément différents l'un de l'autre, sinon on a arrété le tirage).
Donc, pour le Nième tirage, la probabilité qu'il ne soit pas identique à l'un des N-1 précédents est de (365-N+1) / 365. Multiplions cette probabilité par toutes celles qui l'on précédées (car si on est arrivé au Nième tirage, c'est que les N-1 précédents sont déjà tous différents) :
P'(N) = (364 / 365) x (363 / 365) x ... x ((365-N+1) / 365)
P'(N) = (364 x 363 x ... x (365-N+1)) / (365 x 365 x ... x 365) [N-1 termes en haut et en bas]
et le numérateur peut s'exprimer sous la forme 364! / (365-N)!, donc :
P'(N) = (364! / (365-N)!) / 365^(N-1) que l'on peut multiplier par 365 en haut et en bas :
P'(N) = (365! / (365-N)!) / 365^N
Or, nous avons déterminé ici la probabilité que, au bout de N tirages, il n'y ait pas de tirages identiques ; la probabilité qu'il y en ait deux identiques est donc P(N) = 1 - P'(N), soit la formule ci-dessus.
Isolément, le dénominateur peut se démontrer aisément : 365^N est le nombre de possibilités différentes de tirer N nombres parmi 365 avec remises (c-à-d le nombre de vecteurs différents possibles de N éléments choisis chacun entre 1 et 365). Toute probabilité ne peut être qu'une fraction de ce nombre...
Ce qui nous amène à la représentation graphique (800x600) et aux conclusions que l'on peut en tirer : parmi une simple congrégation de 23 personnes, on a déjà 50% de chances d'avoir deux dates d'anniversaire identiques ; pour une classe de 35 élèves, cette probabilité dépasse 80% et dans un rassemblement de 60 personnes ou plus, les chances frisent les 100%... CQFD
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